RSH & CA   Mar-2004
Revision Topics – Numeric and Algebraic Solutions (Please report any errors to RH or CA)

Page 1: Expanding brackets and simplifying

1)  a)  15x - 5          b)  6x² + 12x           c)  16 - 6x     d)  12y  - 17  e)  6x² - 11x + 4

2)  x² + 4x - 21        3)  a)  2x³ + 6x        b)  15x - 19

4)  x² + 3x - 28        5)  x² - x - 30          6)  5y - 27              7)  x² - 8x + 12

Page 1: Transforming formulae

1)                     2)                      3)      

4)                      5)                       6)       d = t - h²

7)               8)                      9)      

Page 1: Factorising

1)  2x(3x - 4y)         2)  3a(a - 2c)          3)  3xy(y - 2)          4)       2xy(x - 3y)

Page 2: Simultaneous equations

1)  x = 4, y = -2                2)  x = 2.5, y = -3              3)  x = 2, y = -4

4)  x = 2.5, y = 3.5             5)  x = 17, y = 16               6)  x = 4, y = -5

Page 2: Quadratic factorising

1)  (x - 5)(x + 3)                2)  (4x - 1)(4x + 1)            3)  (x - 7)(x + 2), x = 7, -2

4)  (x - 4)(x + 4)                5)       (x + 4)(x - 2)           6)  (x + 9)(x - 2)

7)  (2x - 9)(2x + 9), x = ±4.5                                      8)  (x - 6)(x + 2)

9)  2(a - 5b)(a + 5b)          10)  (2x - 5)², a = 2, b = -5

11)     a) (i)   (3q - 10)(3q + 10)              (ii)  (3q + 10)(q - 2)

          b) 

Page 3: Loci  (check diagrams with your teacher)

Page 4: Straight line graphs

1)  y = 3x + 8

Page 4: Forming expressions

1)  30x² - 4px²                            2) 

Page 4: Scatter Diagrams  (check diagrams with your teacher)

Page 5: Percentages

1)  £5451.78            2)  20/4 £225, 28/4 £229.50, 20/5 £206.55, 28/5 £202.42

3)  £2382.03            4)  £76          5)  £1842.38            6) a) 6.25%   b) £5624.32

Page 5: Ratio

1)  £50, £62.50, £87.50                2)  a)  £150   b)  £306        3)       £800, £1000, £1800

Page 6: Upper and Lower Bounds

1)  529 mm²            2)  8.22 ms^-1, 8.17 ms^-1      

3)  a)  184.5, 185.5 mm       b)  5535, 5565 mm             4)  60.8 cm

5)  a)  5.05, 5.15 L   b)  least 19, greatest 21      6)  a)  49.5, 50.5 kg   b)  990, 1010 kg

Page 7: Proportion

1) a)  d = 5t²           b)  45m         c)  9 s          2) a)              b)  1.25 m     c)  3 ms^-1

3) a)  m = 10r³         b)  640 g       c)  3 m          4) a)              b)  12.5         c)  10

5) a)  o.6 kg  b)  10 kg

Page 8: Right-Angled Trigonometry

1)  7.21 m               2)  10.9 m                         3)  35.3°                 4)  24°                  

5)  2.35 m               6)  a)  83 m   b)  20°                   7)  9.49 m               8)  25.3°

9)  49.3°                 10)  6.82 cm

Page 11: Area and Volume

1)  2.175 kg             2) a)  43.68 cm²       b)  3.63                  4)  4.65         5)  136 cm²

Page 12: Estimating Mean and Standard Deviation

1)  58.5                  2)  a)  24.17, 6.19    b)  19.17, 6.19         3)  a)  24.5    b)  60.5, 24.5

4)  a)  15.1, 1.34      b)  16.1, 1.34          5)  43.5, 1.22          6)  75.8, 2.8

Page 13: Frequency Polygons  (check diagrams with your teacher)

1)  b)  14.6             2)  b)  £81556                   3)  b)  35.1

Page 14: Cumulative Frequency  (check diagrams with your teacher)

1)  a)  32 min           b)  20 (approx)

Page 15: Transformations  (check diagrams with your teacher)

2)  Enlargement, scale factor -2 about centre of enlargement (3, 1)

Page 16: Standard Form

1)  a)  3.896 ´ 10⁶    b)  2.567 ´ 10^-7                  2)  a)  4.8 ´ 10^-9      b)  7.5 ´ 10⁸

3)  a)  2.6 ´ 10^-3

4)  a)  (i)  3,700,000   (ii)  0.0082            b)  (i)  3.822 ´ 10¹³     (ii)  7.47 ´ 10^-16

5)  a)  2.89 ´ 10^-8     b)  6.86 ´ 10⁵

6)  a)  (i) 8.6 ´ 10^-6    (ii)  6.24 ´ 10⁷             b)  (i)  1.6 ´ 10^-11       (ii)  4.0 ´ 10^-13

Page 17: Probability

1)  9000                  2)  a)  42/380          b)  22/380     c)  72/380     d)  170/380

3)  b)  1/18    c)  1/3          4)  a)  0.4     b)  (i)  0.09    (ii)  0.54

5)  b)  28/120 c)  90/120               6)  b)  4/25    c)  12/25

7)  b)  1/12    c)  5/12                            8)  300 (approx)

9)  a)  38/50  b)  114                             10)  96/100

11) a)  7/13   b)  1/13                            12) a)  2/90   b)  1/3

13) a)  0.48   b)  0.34         c)  0.18         14)  4/54

15) a)  0.18   b)  0.37                            16)  2/70

Page 18: Inequalities  (check diagrams with your teacher)

1)  -2 < n £ 3.4   -1, 0, 1, 2, 3       3a)  28 > 5n  n < 5.6 b) n > 1/3 1, 2, 3, 4, 5

Page 21: Indices

1a)  i)  8       ii)  1/3          b)  x², x, 1/x            2)  25x⁶         3a)  27x¹⁵y⁶             b)  3a^-2

4)  6a⁸b³        5)  8x⁷y⁵             6)  i)  ¼        ii)  25                     7a)  64x⁹y⁶              b)  a⁶

8)  16/81       9a)  9d²e¹⁰               b)  a³            c)  10a⁷c³

10)  i)  4       ii)  1/5          11a)  1/100             b)  3x^-2y

Page 22: Curved graphs  (check diagrams with your teacher)

1a)  5, 0, -1, 2, 9     c)  3.7          d)  9             e)  2.5, -1               f)  2.4, -0.9

2a)  -5                   c)  3.9, -1.4            d)  2x² – 5x –8 = 3             Þ       2x² –5x –11 = 0

Page 25: Estimation

1)  30 x 0.5/Ö100 = 1.5

Page 25: Trial & Improvement

1)  4.45         2)  2.67         3)  1.36

Page 25: Calculator Skills

1)  0.140370738

Page 25: Solving linear equations

1)  4.2          2)  15.5         3)  6.5          4)  -1.5         5)  0.5          6)  -4 

7)  4             8a) 8x = 5(x + 6) + 3 b)  11           9)  4.5          10) -2

11) 3.5          12a) 2[(15 + 2x) + (12 + 2x)] = 74           b)  2.5          13) 1.5

Page 26: Prime Factors

1a)  2³ x 3 x 5²         b)  6             2)  2³ x 3² x 7          3)  2 x 3² x 7²

4a)  7 x 2² x 5²         b)  7 x 700 = 4900                       5)  2² x 3³

Page 27: Dimensions

1a)  1 dimension – length          b)  V = 2R²H + 2R²D       3 dimensions

2)  vol, length, vol, area           3)  length, none, area, vol        4) 1, 3, 1, 2

Page 28: Similarity

1a)  8           b)  10           2a)  r = 7.5 vol = 375 p =1178cm³                     b)  3.3cm

3a)  5.4         b)  8             4)  1600 cm³              5a) all 3 angles equal

b) 10/15 = 8/12 ¹ 7/11        6a)  9.6         b)  10.8         7)  7.5cm

8a)  circle, reg polygon        b)  sphere      9)  25.6cm²

Page 30: Rational Irrational

1)  27 - 10Ö2 (irrational)     2a)  618/990 = 103/165       b)  72 – 24 + 2

3a)  3393/9900 = 377/1100  b)  4 (any square no.)         c) Ö8 etc

d)  p             e)  50           4)  37/99       5a)  2 (rational)        b) 1/3 (rational)

c)  9 + 2Ö18   or   9 + 6Ö2             6)  322/990 = 161/495        7) 3 + 6 + 6 + 12

8a)  83/99     b)  48 (rational)

Page 31: Advanced algebraic fractions

1)  -b(a + 3b) / (a + b)(a + 2b)               2a)  (x – 4)(x + 4)    b)  (x – 4) / (2x – 3)

3)  (2n + 1) / n(n + 1)        4)  6x² / (x – 3)        5) (12 +8x – 5x²) / (5x –2)(x + 2)

Page 31: Sectors, arc length

1)  14.1cm     2a)  8.6cm     b)  6.97cm²

Page 32: Transforming graphs  (check diagrams with your teacher)

Page 33: Histograms  (check diagrams with your teacher)

1a)  2 x 3.5 + 6 x 2.5 + 10 x 3.2 + 2 x 2.5 = 59   

b)  14.75 driveways (7.75/2.5 = 3.1)         5.1metres

2a)  0.4, 1.5, 1.8, 4, 2.5, 0.5         b)  0.8 x 40 + 25 + 10 = 67 children

3a)  0.6, 0.8, 0.3, 0.9, 0.4, 0.8     

b)  10 x 0.2 + 10 x 0.2 + 10 x 0.8 + 10 x 0.4 + 10 x 0.4 + 10 x 0.2 = 22

4a)  60, 10, 30, 100, 60                b) ¼ of 100 + 60 = 85         c) 3, 3.5, 6.5, 2, 3

d) yes, huge increase in 0 £ x < 30, decrease in ³ 50

Page 35: Vectors

1a)  p + q      b) 3q            c)  -3p                   d)  2q – 3p             

2a) x + y       b) y + ½ z     c) ½  z + x – y         3a) i)1/3 x     ii)  1/6 y        iii) –y + x

b) ZX = 2x – y = 6(1/3 x – 1/6 y) = 6RP    c) ZX is // to RP ZX is 6 times as long as RP

4a) i) a + b    ii) ½ b           iii) b + ½ a     iv) –a + b      v) ½ b – ½ a

b) QS = 2JK             QS // to JK

5) i) –a –b + 4a + 3b = 3a + 2b      ii)  -a –b + 10a + 7b = 9a + 6b

6a) i) –x + y   ii) x + ½ (-x + y) = ½ x + ½ y       iii) ½ y – ¾ x

b)  PQ = - ½ y + ¾ x + ½ x + ½ y = 5/4 x          so PQ // to OX

Page 37: Angles in a circle   

1a) 31 < at centre = 2< at circumf           b)  90  < in semicirc

c)  59  base <s isos tri                           d)  31  alt seg theorem

2a) 90  < betw tang + rad                       b)  42  <s in same seg

c)  138  opp <s cyclic quad

3a)  72  < at centre = 2< at circumf         b)  18 < in rt <d tri

c)  144  opp <s cyclic quad                    

4a)  142  opp <s cyclic quad                   b)  76  < at centre = 2< at circumf

c)  49  alt seg theorem

5a)  30  alt seg thm                               b)  90  < in semicirc           

c)  28  base <s isos tri                           d)  52  < at centre

Page 38: Forming and solving equations

1a)  x(x + 3.6) / 2 = 64.8              x² + 3.6x = 129.6               x² + 3.6x – 129.6 = 0

b)  x = 9.7 = QR                 PQ = 9.7 + 3.6 = 13.3

2a)  area square = 10 x 10 – 4[x(10 – x) / 2] = 100 –2x(10 – x)

                         = 100 – 20x + 2x² = 75           Þ       2x² – 20x + 25 = 0

b) –1.46 or –8.54               3)  x = -11/6 or –1

4a) 8(x + 2)(x – 5) = 20.6    Þ       8x² – 24x – 100.6 = 0

b)  x = 5.35 or –2.35           c)  8 by 7.35 by 0.35 5) x = 1.14 or –2.64

6a) 2[x(x – 1) + 3x + 3(x – 1)] = 63          Þ       2x² + 10x – 69 = 0

b)  x = 3.88 or –8.88           c)  3.88 by 2.88 by 3

7a)  6x² – 20 = 7x              Þ       `6x² – 7x – 20 = 0

b) (3x + 4)(2x – 5) = 0        c) x = -4/3 or 5/2

Page 40: Random samples

1a) not every child will have the equal chance of being selected

b)  384 x 110 / 1800 = 23.5 =24 Y7 Y8 = 22         Y9 = 26         Y10 = 21

  Y11 = 11     Y12 = 6

2a) 28 x 10 / 91 = 3          

b)  Number men under 01 to 28, number men over 29 to 60

     Select digits in pairs ignoring repeats and nos outside the range until you have 2   

     nos in each category.

25  Ö             79  x             46  Ö             25  x             02  Ö             93  x            

68  x             58  Ö

3a)  92 x 20 / 220 = 8 Wales          6 Eng            2 Scot          3 Ire             1 France

b)  Give each person a no. from 01 to 92

 Select digits in pairs ignoring repeats and nos outside the range until you have 8 nos

34  Ö             45 Ö              98  x             78  Ö             13  Ö             45  x            

03  Ö             65  Ö             72  Ö             39  Ö  

4a)  i)  Y7 girls = 64 x 60 / 615 = 6 ii)  Y11 boys = 52 x 60 / 615 = 5

b)  i)  children not selected in the same proportion as in the population 

   ii)  simpler and quicker

5a)  likely to give biased opinions as they obviously like the meals as they’re first in the queue!

b) use admission numbers for each child and generate random nos until 20 have been selected (ignore repeats and nos outside range)

6) M = 36 x 20 / 358 = 2     SS = 10         ST = 3          HE = 3          AA = 2

7a)  only sampling people who do not work

b) not every person has an equal chance of being selected

Page 42: Sine & Cosine Rules

1a)  39     b) 180 – 103 – 39 = 38            c)  9.2cm               

2)  bearing = 180 + 126 + 46 = 352          3) AB = 16cm AD = 9.2cm

4)  TS = 14.1 m        TSR = 38                

5)  SQ = 6.6            P = 74           PQ = 5.0cm

Page 43: Graphs of symbolic relationships

1)  x = 0 y = pq⁰ = p   Þ     p = 3 (intercept)      x = 1 y = pq = 3q = 0.6  Þ  q = 0.2

2)  p = 1.5  q = 10

Page 44: Velocity-time graphs

1a) ½ (1 + 6) x 1 + ½ (6 + 25) x 1 + ½ (25 + 64) x 1 = 63.5     b) distance = 63.5m

2a) accel = 10/20 = 0.5 m/s/s

b) ½ (0 + 7) x 10 + ½ (7 + 25) x 10 + ½ (25 + 30) x 10 = 470m = 0.47km

c)  0.47 + 30 x 30 /1000 = 1.37km

Page 45: Trig graphs

1b) –86, 94             2b)  -1 and 1           3a)  x = 210, 330      b) 41, 139

4b)  i) x = -90, 90     ii)  -107, 107